Blog

Penjelasan Kurva Brachistochrome dengan beberapa bantuan dari PTC MathCAD

ramp-featured
Jika Anda ingin menggulingkan kelereng menuruni tanjakan dalam waktu sesingkat mungkin, bagaimana Anda akan merancang tanjakan itu? Dengan kurva brachistochrone.

Masalah

Sejak kecil kita sudah diberitahu jarak terpendek antara dua titik adalah garis lurus. Jika Anda melakukannya pada sebuah bola, seperti pesawat terbang, jarak terpendek adalah kurva yang sangat bagus. Tetapi di bawah pengaruh gravitasi, manakah jalur tercepat untuk menempuh perjalanan antara dua titik?

Johann Bernoulli mengajukan tantangan ini kepada ahli matematika terhebat di zamannya pada tahun 1696. Selain dirinya, lima ahli matematika menanggapi dengan solusi, termasuk namun tidak terbatas pada:

- Gottfried Leibniz, salah satu pendiri kalkulus.
- Kakak Johann, Jakob.
- Sir Isaac Newton, pendiri kalkulus lainnya, yang lebih kesal daripada tertantang. Dia memecahkan masalah dalam waktu kurang dari dua belas jam.

Solusinya

Intuisi memberi tahu kita bahwa semakin vertikal kurva di awal, semakin banyak momentum (hasil kali massa kecepatan kali) benda akan diperoleh. Meskipun menempuh jarak yang lebih jauh, ia tiba dalam waktu yang lebih singkat.

Solusi terbagi dalam dua kategori: metode langsung dan tidak langsung. Yang pertama menggunakan banyak trigonometri dan geometri, sedangkan yang terakhir (yang saya lebih suka) menggabungkan fisika.
Pertama, kita akan menggunakan PTC Mathcad untuk mencari waktu sebagai fungsi jarak antar titik untuk sebuah garis lurus. Kita dapat mengubah energi potensial bola di awal menjadi energi kinetik di akhir.

Awalnya kita akan berasumsi bahwa sebagian energi diubah menjadi gerakan menggulung bola.

inclined-plane-2-mathcad

Dalam solusi ini, saya menggunakan aspek Mathcad berikut:

- Operator Perbandingan berjalan melalui derivasi dan persamaan dokumen yang tidak diselesaikan.
- Kotak teks untuk mendokumentasikan langkah-langkahnya.
- Variabel bawaan untuk akselerasi akibat gravitasi.
- Definisi fungsi yang dapat digunakan di seluruh lembar kerja.
- Pemformatan matematika untuk menarik perhatian seseorang ke kesimpulan.

Seperti yang disebutkan sebelumnya, saya lebih suka pendekatan tidak langsung. (Untuk video hebat tentang subjek ini, lihat video "The Brachistochrone, dengan Stephen Strogatz" di saluran YouTube 3Blue1Brown.) Johann Bernoulli memecahkan masalah dengan menggunakan:

- Prinsip Fermat, juga dikenal sebagai prinsip waktu paling sedikit, yang menyatakan bahwa cahaya menempuh jalur yang memakan waktu paling sedikit.

- Hukum Snell, yang menghubungkan sudut datang dengan sudut bias ketika cahaya melewati media yang berbeda. (Seperti ketika Anda memasukkan pensil ke dalam segelas air dan gambarnya melengkung.)

Saya tidak akan berpura-pura memahami persamaan turunan dan diferensial dalam solusi Bernoulli, tetapi saya dapat mendokumentasikan sisanya di Mathcad menggunakan operator Perbandingan:

bernoulli-indirect-approach-3-mathcad

Jalurnya adalah sikloid: bentuk kurva saat Anda menelusuri gerakan suatu titik pada lingkaran saat berputar pada garis lurus. (Selain: mode mekanisme di Creo memiliki profil motor sikloidal untuk mensimulasikan gerakan cam.)

Sekarang kita akan menggunakan Mathcad untuk mencari bentuk sikloid yang menghasilkan gerakan tercepat antara dua titik.

Di sini saya menggunakan fungsi berikut:

- Pemahaman inheren Mathcad tentang unit. Faktanya, saya menemukan kesalahan ketika waktu perjalanan dilaporkan dalam unit yang salah.
- Konstruksi Blok Pemecahan dengan fungsi Find untuk menyelesaikan sistem persamaan. (fungsi Temukan dapat ditemukan di kategori fungsi untuk Pemecahan)

Sekarang kita dapat membandingkan waktu tempuh antara garis lurus dan sikloid:

brachistochrone-curve-end-point-4-mathcad

Perhatikan hyperlink di dokumentasi. Ini membantu orang lain memahami latar belakang masalah.

Fungsi Komponen Bagan Mathcad dapat memplot jalur sikloid dari awal hingga akhir:

travel-time-5-mathcad
Ini menggunakan fungsionalitas Mathcad berikut:

- Matriks untuk menentukan titik awal dan akhir, yang digunakan sebagai salah satu plot pada diagram (meskipun tanpa garis atau kurva yang menghubungkan titik-titik tersebut).
- Variabel rentang untuk membuat grafik sikloid.
- Pemformatan bagan termasuk judul, label sumbu, rentang kustom, dan warna.
- Beberapa jejak / dataset dalam satu plot (satu dataset untuk memplot titik awal dan akhir, dan satu dataset untuk memplot kurva)

Brachistochrone adalah masalah yang menarik dari sejarah matematika, dan Mathcad memiliki banyak alat untuk mendukung penyelidikan.
cycloid-6-mathcad

Tentang ACA Pacific  
  
ACA Pacific Indonesia Merupakan Distributor Resmi PTC di Indonesia. ACA Pacific adalah Perusahaan Distribusi Nilai Tambah Regional yang didirikan sejak 1986. Melayani wilayah Asia-Pasifik selama lebih dari 30 tahun, keahlian kami adalah dalam memilih dan mengintegrasikan perangkat lunak dan perangkat keras “Best-of-Breed” untuk memenuhi dinamika bisnis yang terus berubah.  
  
Di ACA Pacific, kami menawarkan produk dengan teknologi canggih untuk memberikan hasil terbaik bagi pelanggan kami. Dari kecerdasan buatan, perangkat lunak desain, jaringan dan server, penyimpanan dan cadangan, komunikasi terpadu, hingga komputasi awan, kami mencakup sebagian besar kebutuhan bisnis dengan solusi yang tepat. Untuk informasi lebih lanjut, silakan kunjungi aca-apac.com/id atau hubungi sales@acapacific.co.id 

Source : https://www.mathcad.com/en/blogs/brachistochrone-curve-explained-mathcad

Download Brochure



Leave a comment